Simone费米面处有平庸电子态的拓扑金属如果有超导，可以实现拓扑超导吗？
的有关信息介绍如下：
谢邀，第一次被邀请，发现自己或许还能帮上一点忙。题主的问题太松散，太多细节拼凑了，我试着理清一下思路，并给出自己的一点思考。我先给出一张和拓扑半金属相关材料的能带示意图[Ref. 10.1038/NPHYS3372]，如图1所示。
图1：具有不饱和磁阻特征的不同材料（拓扑和非拓扑半金属材料）简化的能带示意图[Ref:10.1038/NPHYS3372]。
1. 标题中“费米面处有平庸电子态的拓扑金属如果有超导，可以实现拓扑超导吗？”举NbP为例，它也是TaAs一族的Weyl半金属材料（破坏空间反演P）,它的费米面同时切割到了平庸电子态（d图左边hole pocket）和非平庸电子态（d图右边electron pocket）。按照标题的说法，我们现在让左边平庸的空穴口袋超导，保持右边电子口袋正常态非平庸，那么就可以实现了拓扑超导了。确实是实现了“拓扑+超导”（有些电子超导有些电子拓扑），但这不是真正意义上的拓扑超导。拓扑超导是针对于同一个电子能带而言的，即它超导配对(Cooper pairing)后的序参量具有非平庸的拓扑不变量（比如p-wave超导），这儿我给一些参考文献[Ref. 10-12]。因此，我将试着回答的问题是“费米面处有非平庸电子态的拓扑金属如果有超导，可以实现拓扑超导吗？”，这个回答中我将仔细回答Weyl半金属中Dirac cone超导的话，它可能的配对方式。
2. 题主提到“Na3Bi、Cd3As2、TaAs等拓扑半金属由于费米面处的态密度非常小，因此原则上不会出现超导”，原则上来说，你说的也没有错啦。3D拓扑半金属的态密度 ,我们注意到当费米能接近Weyl点时，电子态密度消失，确实也无法进一步产生超导。可是超导配对的机制是很复杂的，跟态密度的大小的关系并不明显，一个很好的反例便是金属性越好的材料越难超导，而金属性很差的陶瓷材料（YBCO等）反而更容易超导。态密度的大小会影响超导能隙的大小，但不是诱因。超导的诱因（怎么从金属相或者绝缘相进入超导相？），特别是高温超导，人们现在还说不太清楚。凝聚态理论研究者通常会用正常相失稳(phase instability)来讨论这个动力学过程。一般凝聚态的正常相可以用landau-Fermi液体理论来描述，但是考虑相互作用后可能会导致三个通道(channels)的失稳，分别是: CDW, SDW和 BCS 通道，如下图2所示[Ref:Shankar, RevModPhys.66.129]。如果你已经知道系统会出现怎么样的相变，那么你可以引入相应的序参量，然后自洽平均场算出一个自洽的序参量就可以了，比如BCS理论就是这么做的。这个方法很好用的，但是这个方法有点儿先入为主的嫌疑，人们更想知道，为甚么系统明明容许CDW, SDW和 BCS三种通道失稳，最后只剩下BCS了，为什么不可以是CDW或SDW,甚至共存相呢？我必须地指出，这些关于各个通道失稳和竞争的动力学分析，都是非常前沿的凝聚态多体问题的课题，关于这方面的研究众说纷纭，非常依赖具体的研究方法：比如密度矩阵重整化群[Ref:White, PRL 69 (1992): 2863.]，泛函重正化群[Ref: 10.1103/RevModPhys.84.299]和数值重整化群[Ref:Shankar, RevModPhys.66.129]等,还有其他一些严格方法等就不给参考文献了。我不想涉及重整化方法，本文就平均场而言，那意味着我‘先天的’知道肯定会出现超导序参量，接下来的有意义的问题，“这个序参量跟什么有关系？”研究发现，这个序参量跟费米面的嵌套结构(nesting)和态密度有很大的关系。细节就不展开了，有兴趣的读者可私信与我讨论。
图2：重整化群中的CDW, SDW和BCS通道失稳[ref:Shankar, RevModPhys.66.129]。
3.题主问的第一问题是“（1）这种费米面有平庸电子态和非平庸的能带交叉点的体系在输运或光电子能谱（ARPES）上能探测出来Dirac或Weyl点吗？”，细节可以参看我在回答与Weyl半金属相关的讨论。简单来说，是能探测出来的。一方面Weyl半金属非平庸能带，在输运行为上会导致负磁阻效应(特别是当电场E与磁场B平行时)，这一特征已被大量报道了。另一方面Weyl半金属非平庸能带，形成成对Weyl点被Fermi Arc连接着，ARPES中可以看到两个特征，一个当然就是Fermi弧了，另一个就是Dirac cone的线性体带色散。但是对于像WTe2这种第二类Weyl半金属，它的表面态费米弧深埋在体带中，ARPES中表面态信号太小，很难观测了。
好了，说了这么多废话。接下来我将回答的问题就是：怎么让Weyl半金属超导？Weyl半金属中超导配对（S-wave,P-wave等）有哪些可能的形式？然后哪些超导配对可能是拓扑非平庸的？希望我的回答没有把题主的问题理解错。最终的答案如下图所示即FFLO配对和BCS配对，具体分析如下：
图3：Weyl半金属中的Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)配对和BCS配对。
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------Yiming Pan (枫林白印)（原创，转载请注明出处）
为了描述3+1维Dirac方程（对于1+1维的情况可参看文献[1-14]），引入16个Gamma矩阵 构成一组完备集[14]。仔细分析一下这个完备集，在Lorentz变换下， 代表标量， 代表赝标量， 代表矢量， 代表赝矢量而 则代表张量，这些Gamma矩阵满足Clifford代数 。考虑一个有质量的Dirac Hamiltonian，
其中为了简便把费米速度单位化了。由于三个动量分量在时间反演和空间反演变换下都会变号（ ），因此矩阵 也必须在两种变换下跟着变号，但是 则保持不变。我们来看， 矩阵在TR和I变换下也变号。最后剩下的十个Gamma矩阵也可以根据时间反演和空间反演变换下的奇偶性可分成三个矢量 和一个标量 ，它们的变换性质列在表4中。从表1中，可以很直观地得到一个结果，如果系统同时具有时间反演和空间反演对称性，那么所有的10个质量项都将被排除，只有Dirac质量项m是容许的。那么接下来，我们将放松这两个对称性的约束，看看如果也容许其他质量项存在，系统会进入什么相中去。
表1：Gamma矩阵的在时间反演(TR)和空间反演(I)对称性的变换性质。
现在，在Weyl半金属正常相中引入相互作用，然后对相互作用进行一些划分，这样在相互作用导致失稳或相变时，可以预先了解各个如CDW，SDW或BCS通道中可能存在的平均场。形式最简单也最常见的相互作用就是在位Hubbard相互作用[15]，
其中一个单体常数项被吸收到化学势中去。考虑Weyl半金属 存在两个不同手征性的动量空间分离的Weyl费米子，把相互作用作一个投影，并得到，
其中定义手征密度算子 。虽然在位Hubbard相互作用是一个自然的猜测，但是为了更完整得讨论相互作用的形式，开始考虑一个更一般化的作用量，
其中 是一个16*16实对称矩阵有136种独立的形式，而。这么多种相互作用可以通过对称性分解为几类，从而可以大大简化V的形式。为了接下来计算方便，给出一个Gamma矩阵的具体结构，
另外还剩下十个张量形式的矩阵可写成，
其中 。
而我们熟悉的Hubbard相互作用就是其中一种情况，即U>0。对上面约化的互作用V作RG（重整化群）分析，由于RG分析比较复杂直接省略计算过程只给出结果，我们发现这个互作用会导致粒子-空穴通道SDW序首先出现失稳，而粒子-粒子通道超导序则不会失稳。
好了，互作用失稳会产生新的序参量，这些序参量作为质量项进入Dirac方程。现在用平均场把这个SDW表达出来吧。
其中 是实的。这个平均场单粒子色散为 ，是能隙完全打开的。这个系统基态带自发磁化，沿着z方向，
其中表示Weyl点在相空间中的动量分离量，而磁化强度 则在实空间中因此被周期调制了。最后，再提醒大家另一篇文章得到的失稳相却是CDW序，是Wang和Zhang提出来的[23]。他们从一个特定的四费米子互作用出发并通过平均场分析得到了CDW基态，和我们从一个一般化的相互作用并通过RG分析办法并不相同。
以上考虑的互作用是排斥的，如果通过交换声子得到吸引的互作用(U<0 in Eq.5.22-23)，那么就可以发生超导通道失稳，并形成两类配对行为：一个实有限动量Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)配对和BCS配对，如图3所示。接下来，要做的事情就是找出所有可能的配对项并作对称性分析[15,24-30]。一般地，费米子配对可以分解为，
因此对于一个超导项，其平均场Hamiltonian为，
其中 ，是一个反对称矩阵。可以用16个Gamma矩阵来展开配对项， ， 其中为线性独立的反对称Gamma矩阵，共有六个为 。把它写到动量空间的Nambu表象中去，
其中
其中 ,指标A求和，另外基矢为8分量旋量 ,
我们希望知道超导序参量在各种对称性变换下如何变化，这是所关心的问题。对配对项作一个旋转变换，
代入 ，我们得到
用上面这个变换，发现 四个矩阵在变换下为标量，即
因此四种超导配对保持转动对称性。那么剩下两个矩阵 则构成矢量
也就是说，如果考虑一个组合项，
在旋转变换下，将保持原本的形式，只是需要用新的参数来替代 ，并满足
这样可以保持 。但是选择一组特定的 就会打破旋转对称性。
表2：超导序在离散对称性CPT的变换性质。
类似地，作一个手征旋转变换，
带入 ，我们得到，
同样的分析过程，可以发现四个矩阵 在变换下为标量，而剩下两个矩阵 构成矢量。
最后关于离散对称性CPT，就不具体分析了，直接参看表2。需要说明的一点是矩阵 是FFLP配对，而 则是代表BCS配对。另外关于发生超导通道失稳时，FFLP配对和BCS配对哪一个会最先成序的讨论，参看文献[26]。以上关于拓扑半金属的超导相的分类思想，如何能够帮助材料上寻找这些拓扑相和超导相，可参看相关文章的讨论[31-37]。
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