固有频率和共振频率的关系是怎样的？

固有频率和共振频率的关系是怎样的？

关于固有频率这个概念，在很长一段时间内都困扰我，固有频率是什么？有什么物理含义？过阻尼与欠阻尼系统的固有频率有什么联系？高阶系统有没有固有频率的概念？等等很多问题，后来也请教了很多控制大佬，看了很多知乎大佬的回答，至此对固有频率这个概念有了一些比较清晰的认识

其实这个问题在知乎上已经有很多大佬的回答，这些回答可以大致分为两类，一类是研究机械振动背景的大佬对固有频率的看法，另一类是控制背景的大佬对它的看法，其实大家说的都是同一个东西，但是区别在于，对于机械振动背景的大佬们来说，通常系统都是欠阻尼，阻尼比很小，系统的响应会有振动；而对于控制背景的大佬们来说，一个控制系统，经常会有临界阻尼，甚至过阻尼系统的出现，系统的响应有时根本不会发生振动；所以虽然是同一个东西，但是其实这个概念对于机械振动和控制领域还是存在一定的差异的

言归正传，我们回到这个问题本身，到底什么是固有频率？

根据百度百科的定义是：固有频率就是自然振动频率

这里的自然振动，其实有两层含义：

1）自然：无外部作用，也就是系统受到一个初始的激励后，自己发生的振动；另外就是无阻尼；

2）振动：固有频率这个概念是用来描述振动频率

那其实到这里你可能会有疑问，其实很多系统在受到外部激励后的响应，根本不会发生振动。就比带有阻尼器的门，在你推开门之后放开，门会很缓慢的关闭，并不会发生来回的振动，那么还有固有频率的概念吗？

对于这个问题，我的理解是：首先这个世界不存在完全无阻尼的系统，所有的振动都存在阻尼，而自然频率想研究就是假设系统不存在阻尼时的响应，因为这个响应能够反应系统自身的性质，所以即便是一些临界阻尼或者过阻尼系统响应不会发生振动，原因是因为阻尼抑制了振动，而如果把阻尼去掉，那么系统的自然振动就会凸显出来，所以自然频率或者固有频率是系统自身的一种性质，虽然有时候会因为外界阻尼被抑制，但是其确是隐含在系统内部的一个“固有”属性

下面我们从最简单的例子来理解固有频率和阻尼：

如上图所示的一个弹簧质量系统，刚开始外部施加力压缩弹簧 后迅速释放，那么质量块m的运动是怎么样的？

很自然的想法就是我们把m的响应计算出来观察就知道了，那么计算m的响应，需要解以下的微分方程：

解以上二阶常系数微分方程，需要先求其特征值：

其特征根为一对共轭复根：

所以可以写出解的时域表达式为：

可以看出以上系统在受到外部激励后的振动是频率为 的振动叠加，叠加后的振动频率还是 ，所以根据自然振动的定义： 就是固有频率，我们将其时域响应画出来：

设置k/m=25,所以固有频率为：

下面我们改变一下系统，我们增加了阻尼器，且阻尼为c

同样的情况，我们求系统的时域响应：

特征方程变为了：

特征根变为了：

其中：

有阻尼时，我们来看阻尼对系统响应的影响,

1）欠阻尼：阻尼比 ，系统时域响应的表达式为：

可见系统的响应还是由两个振动谐波叠加，频率均为： ，相比无阻尼振动频率 有所降低，同时系统响应因为 的存在会逐渐衰减至0，画出其时域响应为：

2）临界阻尼： ,系统的时域响应表达式为：

可以看出，在这种情况下，系统的响应并没有振动分量，因此系统响应不存在振动

3）过阻尼： ,系统的时域响应表达式为：

与临界阻尼类似，在这种情况下，系统的响应并没有振动分量，因此系统响应不存在振动

所以，基于这个简单的例子，我们可以看出当我们增加了阻尼之后，系统的振动就会衰减甚至完全抑制了振动，但一旦我们去掉阻尼，则系统的振动属性就会体现出来，这个固有的振动属性可以被抑制，但不能说不存在。而我们所关心的自然频率或者固有频率就是这个不考虑阻尼c的系统自身的“固有”属性，而对于以上的例子而言，这个属性就是取决于系统的刚度k以及质量m决定的，所以对以上的四种系统而言，其固有频率都是一样的：

以上通过一个简单的例子来说明了固有频率的概念，以及为什么是“固有”的。

那对于高阶系统来说，固有频率又是什么概念呢？

我们还是要从高阶系统的响应来看，假设我们有一个3阶系统，其微分方程如下：

同样我们求出其特征根：

则系统的响应可以表示为：

可见系统的响应就不是由一种单一的频率组成了，而是由1rad/s和2rad/s两种频率叠加而成，对于高阶系统，我们通常不会说其固有频率是什么，通常会讲它有几种模态，也就是其响应包含几种频率的成分。画出高阶系统的响应，可以看出此时它的响应就已经不是标准的正弦响应了，而是两种成分的叠加

最后，我来们讨论，固有频率到底与什么物理意义？

还是二阶系统的例子，将阻尼比设置为0.05，固有频率设置为5rad/s，我们画出其伯德图：

伯德图的含义是表示不同频率的正弦输入时，系统输出的幅值和相位

从图中我们可以看出，当有一个外部输入刚好是5rad/s时，系统的响应存在一个尖峰，代表系统在固有频率附近对外部输入更为敏感。如果我们继续降低阻尼比至0.005，我们画出伯德图为：

可以看出，阻尼减小后，在固有频率附近的响应更大；当阻尼为0时，在固有频率处的响应将会是无穷大，系统发散，也就是通常所说的共振，所以固有频率在机械振动方面的第一个物理意义是代表系统的共振频率，也就是要避免这个频率的外部激励，否则将会导致机械系统损坏

对于控制系统而言，我们通常会设计一个合适的阻尼比，通常为0.7-1之间，比如0.8，同样固有频率为5radps，我们画出二阶系统的伯德图：

我们可以看出，当输入频率为5rad/s时，系统的输出已经比0rad/s时的输出降低了3db（从-28到-32），也就是说在固有频率开始，系统的输出将会快速衰减，也就是说控制系统不能够很好的响应输入的请求，此时的固有频率一定程度上代表了控制系统对输入信号的响应频率带宽（固有频率并不直接等于控制带宽但是二者有相关性），固有频率越大，代表控制系统对于输入的响应能力越强

对于高阶系统而言，也是一样，画出其伯德图：

系统在2个频率附近较为敏感，对于机械系统而言，我们需要避免工作在这两个频率附近；对于控制系统而言，我们需要仔细分析系统在这两个频率附近的稳定裕度，相对于二阶系统就较为复杂了，再这里不展开了

总而言之：

1）固有频率是系统的无阻尼自然频率，虽然有时候阻尼的存在会抑制系统振动，但是系统的这个振动的属性是天然存在的，且与阻尼无关，所以称之为“固有频率”

2）对于高阶系统，一般不称之为固有频率，因为其响应是多种频率的叠加，我们称之为系统的振动模态

3）欠阻尼系统时，在固有频率附近，系统的响应最为敏感，对于机械系统，我们应该避免工作在该频率附近；对于控制系统而言，固有频率影响控制系统的带宽及稳定性