N维向量的叉积是如何被定义的？

N维向量的叉积是如何被定义的？

向量的叉积应该是反对称的，满足的运算可以为外代数的楔积(wedge product)。

然而一般维数下，楔积没法和原来的向量空间同构。

如果要求同构，维数只能为0,1,3,7(=1-1,2-1,4-1,8-1)。这是由于可除代数只有实数(1维)，复数(2维)，四元数(4维)和八元数(8维)。

所以叉积除了3维可以存在，7维也可以存在，然而并没有啥用。。

补充一下好了：

如果维数是2的情况，设,,按照楔积的定义

可见独立分量只有一个，所以2维的叉积本质的维度只有1维。

3维也可以通过矩阵发现独立分量有个，正好有简单的同构。7维的没这么简单，但是可以通过8元数的乘法表发现同构。

其实物理里面的角动量之类的都是楔积(wedge product)的结果，也就是2阶反对称张量。用赝矢量表示只是为了方便。学生时代就在为为啥角动量，电学里面的量之类的要用右(左)手定则之类的困惑不已，后来终于搞清楚了，其实他们都是张量。