安全库存公式是怎么推导的？

安全库存公式是怎么推导的？

安全库存主要的目的是为了覆盖在提前期T内，需求量D产生的偏差。因此这里面涉及到两个随机变量

因此安全库存关注的就是在提前期T内，需求量D的和，即

因此D(T)也是一个随机变量代表了在提前期以内需求的总量。因此安全库存是等于D(T)的标准差乘以一个系数z，代表了安全库存需要覆盖几倍的标准差 (偏差)，z的大小取决于服务满足率的大小。

以正态分布为例，3倍的标准差的量就可以覆盖到99.73%的量。但是D(T)不一定属于正态分布，对于其他的分布，安全库存的公式不变，只是相同服务满足率对应的系数z不同。下面对上述安全库存的公式进行证明。

根据方差公式

接下来分别计算公式中的两项，引入条件期望和条件方差的概念。下述的公式直观意义就是，要算总的平均，等于先去算在各种条件下的平均，然后再取一次平均 (类似全概率公式，计算各个不同场景Y下X的概率，再求和)

因此可以得到

接下来我们利用公式

重新调整一下即可得到

对于我们的问题，X是D(T),Y是T，因此有

接下来我们再次引入条件期望和条件方差，即在给定一个确认的T的时候，计算D(T)的期望和方差。实际场景下代表的含义即，当超市补货提前期是确定的10天的时候，看10天内需求量的期望和方差。

2. 接下来看在给定一个确定的提前期T=t的时候，D(T)的方差的计算公式推导。下述公式的含义代表，假如提前期是确定的10天的时候，10天内需求量的方差就是每天需求量方差的10倍，即需求量的方差在每天也是独立的。这里要注意这个是区别于Var(aX) = a^2Var(x), 这个代表了在随机变量X的基础上乘以了a倍之后的随机变量aX的方差。举例，赌博机一次可以获取10元，现在赌博一次奖励变成了50元 (a=5)。而下述公式代表的是赌博一次奖励10元，现在赌博5次。每次赌博是独立的。

因此，当T是一个随机变量的时候，我们有

把上述公式带入即可得到

上面计算出了方差公式的第一部分，接下来处理第二部分