霍金辐射的原理是什么?

霍金辐射的原理是什么?

说到霍金，你有什么印象？《时间简史》，《果壳里的宇宙》，《大设计》？这些科普作品让很多人忘记了他是个理论物理学家吧。我看很多自媒体的评价将霍金讲得就像个科普作者。今天这里主要是翻译一篇霍金关于霍金辐射的论文。

S. W.霍金

英国剑桥大学应用数学和理论物理学系

1975年4月12日收

摘要在经典理论中，黑洞只能吸收而不发射粒子。然而，研究表明，量子力学效应导致黑洞产生并释放粒子，就好像它们是随温度变化的热物体一样 其中，K是黑洞的表面重力。这种热发射导致了黑洞质量的缓慢下降，并最终消失：任何质量小于约 克的原始黑洞现在都已经蒸发了。虽然这些量子效应违反经典定律的黑洞事件视界的面积不能减少，仍然有一个广义第二定律： 从不减少，这里 是黑洞以外的物质的熵， 是事件视野的表面积的总和。这表明引力坍缩将坍缩体中的重子和轻子转化为熵。人们很容易推测，这可能是为什么宇宙中每个重子包含如此多的熵的原因。

1

虽然在过去的15年里有很多工作（见[1,2]最近的评论），我认为公平地说，我们还没有一个完全令人满意的和一致的量子引力理论。目前，经典的广义相对论仍然提供了对引力最成功的描述。在经典的广义相对论中，我们有一个服从爱因斯坦方程的经典度规，它的右边应该是经典物质场的能量动量张量。然而，尽管因为量子引力效应可能很小而忽略量子引力效应可能是合理的，但我们知道量子力学在物质场的行为中起着至关重要的作用。因此，其中一个问题是定义一个一致的方案，其中时空度规被经典地处理，却被耦合到被量子力学处理的物质场。据推测，这样的方案只是一个近似的更深层次的理论（其中时空本身被量子化）。然而，人们希望它将是一个非常好的近似值，除了接近时空奇点。

近似的，我在本文中使用的物质场，如标量、电磁或中微子场，服从通常的波动方程，闵可夫斯基度规被经典的时空度规取代。这个度规满足爱因斯坦方程，其中右边的源被看作是物质场的某些适当定义的能量动量算子的期望值。在弯曲时空中的量子力学理论中，从湮灭和创造算符的角度来解释场算符存在一个问题。在平坦的时空中，标准的程序是分解场变成正负频率分量。例如，如果 是服从方程的无质量厄米特标量场 ，则 可表示为

(1.1)

其中， 是波动方程 的复值解的一个完全标准正交族，它只包含相对于通常的闵可夫斯基时间坐标的正频率。算子 和 分别被解释为第 态粒子的湮灭和产生算子。真空状态 被定义为一个不能湮灭任何粒子的状态，即。

对所有

在弯曲时空中，我们也可以考虑一个服从协变波动方程 的厄米特标量场算子 。然而，由于正负频率在弯曲时空中没有不变的意义，所以正负频率不能分解为正负频率部分。我们仍然需要 和 一起构成波动方程完整解的基

(1.2)

其中， 是一个合适的曲面。然而，条件（1.2）并没有唯一地固定由 所跨越的所有解的空间的子空间，因此也不能决定算子 分裂成湮灭和创造部分。在一个平坦或渐近平坦的时空区域中，选择 的适当准则是它们应该只包含相对于闵可夫斯基时间坐标的正频率。然而，如果一个时空包含初始平坦区域(1)之后是曲率区域(2)，那么最终平坦区域(3)， 仅在区域(1)上包含正频率的基 将与在区域(3)上仅包含正频率的基 不相同。这意味着初始真空状态 ，对于每个初始湮灭算符 ，满足 的状态将不与最终真空状态 相同，即 。我们可以解释为，这意味着与时间相关的度规或引力场导致了标量场中一定数量的粒子的产生。

虽然对于一个渐近平坦区域的 所张成的子空间是明显的，但它不是一个弯曲时空的唯一定义点。考虑一个在点 处有速度向量 的观察者。设 是任何时间型向量与 重合的标准正交四分体的最小上界 ，在 的邻域 中，观测者可以建立一个坐标半径为 的局部惯性坐标系（如法线坐标）。然后他可以选择一组在邻域 相对于 的时间坐标近似的正频率 满足方程（1.2），对于特征频率 比 高的模态， 与其复共轭 之间存在指数倍数的 。不确定性在湮灭算符 和创造算符 之间的不确定性是指数形式减小的。但是，对于 的模式， 和 之间的不确定性实际上是完全的。这种不确定性引入了模式的粒子数算符 中的 的不确定性。频率间隔 到 内单位体积的模态密度中 的单位体积的模密度 为大于相关场的的剩余质量 。因此，由于定义波长大于局部曲率半径 的模态的不确定性，导致局部能量密度的不确定性为 阶，其中 。由于与曲率半径 相比，短波长的不确定性呈指数级小，因此局部能量密度的总不确定度为 阶。这种不确定性可以被认为是由引力场产生的粒子的局部能量密度。曲率的不确定性通过爱因斯坦方程的不确定性能量密度小相比时空的总曲率提供 相比小，即曲率半径 大相比普朗克长度 厘米。因此，人们可以期望在经典的弯曲时空背景上用量子力学处理物质场的方案将是一个很好的近似，除非在曲率与 的普朗克值相当的区域。从经典的奇点定理[3-6]，人们可以预期这样高的曲率发生在坍缩的恒星中，在过去，在现在宇宙膨胀阶段的开始。在前一种情况下，人们可以期望高曲率的区域被一个事件视界[7]对我们隐藏起来。因此，就我们而言，经典的几何-量子物质处理应该是有效的，除了宇宙的前 。人们有时认为，当曲率半径与质子等基本粒子的康普顿波长 相当时，这种处理方法就会失效。然而，零静止质量粒子如光子或中微子的康普顿波长是无限的，但我们在处理弯曲时空中的电磁或中微子辐射时没有任何问题。当时空的曲率半径小于给定粒子的康普顿波长时，所发生的一切就是粒子数的不确定性，或者换句话说，粒子的产生。然而，如上所示，与产生粒子的曲率相比，产生粒子的能量密度在局部很小。

即使粒子产生的影响在局部可以忽略不计，我将在本文中表明，它们可以在宇宙 单位的寿命或 单位内对黑洞产生重大影响。似乎黑洞的引力场会产生粒子，并以人们预期的速度释放粒子，如果黑洞是一个普通的物体，其几何单位为； ，其中 是黑洞[8]的“表面重力”。在普通单位中，这个温度是 的量级，其中 是质量，以黑洞的克为单位。对于一个太阳质量（ ）的黑洞来说，这个温度远低于宇宙微波背景辐射的 温度。因此，这种大小的黑洞吸收辐射的速度比它们发射的速度快，质量也在增加。然而，除了由恒星坍缩形成的黑洞外，还可能还有由密度波动-形成的要小得多的黑洞在早期宇宙中的[9,10]。这些小黑洞在较高的温度下，辐射比它们吸收的要多。因此，它们的质量可能会减少。随着它们变小，它们会变热，因此辐射速度也会更快。随着温度的上升，它会超过粒子的剩余质量，如电子和介子，黑洞也会开始发射它们。当温度达到 或当质量约 克不同种类的粒子的数量可能是如此大[11]黑洞辐射掉所有剩余休息质量强大的交互时间尺度的 。这将产生能量为 尔格的爆炸。即使发射出的粒子种类的数量没有增加很多，黑洞会辐射出它所有的质量大约在 。在最后十分之一秒内，释放的能量将达到 尔格。

随着黑洞质量的减小，视界的面积将不得不下降，因此违反了经典上，面积不能减少[7,12]的定律。这种违反可能是由跨越事件视界的负能量通量引起的，它平衡了释放到无穷大的正能量通量。人们可以用以下方式来想象这种负能量通量。就在视界外，会有虚拟粒子对，一个是负能量，另一个是正能量。负粒子位于一个经典的禁止区域，但它可以通过事件视界到达黑洞内部的区域，在那里表示时间平移的杀死向量是类似空间的。在这个区域，粒子可以作为一个具有时间型动量向量的真实粒子存在，即使它相对于无穷大的能量通过时间平移杀死向量测量是负的。另一个粒子，具有正能量，可以逃逸到无穷远处，其中它构成了上述热发射的一部分。负能量粒子隧道通过视界的概率是由表面重力K控制的，因为这个量测量了杀死向量的大小梯度，或者换句话说，杀死向量变得类似空间的速度。与其认为负能量粒子在正时间意义上穿过视线，我们可以把它们看作是世界线上的正能量粒子，然后被引力场分散到未来导向的世界线上。应该强调的是，这些负责热发射和面积减少的机制的图片只是启发式的，不应该太从字面上理解。一个黑洞是引力场的激发态，应该进行量子力学衰变，并且由于度规的量子涨落，能量应该能够从黑洞的势阱中隧道出来，这不应该被认为是不合理的。这种粒子的产生直接类似于由平坦时空[18]中的深势阱引起的粒子的产生。热发射的真正证明是在第(2)节中给出的关于一个不带电的非旋转黑洞的情况下的数学推导。在第(3)节中考虑了角动量和电荷的影响。在第(4)节中，证明了任何具有适当性质的能动量张量的重整化都必须给出沿黑洞向下的负能量流，从而使事件视界的面积减小。这种负的能量流在局部上是不可观测到的。

事件视界面积的减少是由于违反了弱能量条件[5-7,12]，这是由于弯曲时空中粒子数和能量密度的不确定性引起的。然而，如上所示，这个不确定性很小，为 的阶数，其中 是曲率张量的大小。因此，它可以有一个发散效应，一个零表面，如事件视界，它有非常小的收敛或发散，但它不能解开一个强收敛的捕获表面，直到 变成1阶。因此，在时空的曲率密度变为 厘米之前，人们不会期望负的能量密度会导致经典的奇点定理的崩溃。

也许相信黑洞能以稳定的速度产生和发射粒子的最有力的理由是，预测的速率只是一个温度为 的物体的热发射速率。有独立的、热力学的理由认为表面重力的某些倍数与温度有密切的关系。有一个明显的类比的热力学第二定律，经典，事件视界的面积永远不会减少，当两个黑洞碰撞和合并在一起，最终事件视界的面积大于两个原始视野的总和[7,12]。在由[8]关联的两个相邻的黑洞平衡态的结果中，也有一个类似于热力学第一定律的结果

其中， 、 、 分别为黑洞的质量、角速度和角动量， 为事件视界的面积。将其与

我们可以看到，如果 的某个倍数被认为是类似于熵的，那么 的某个倍数就类似于温度。表面重力也类似于温度，因为它在平衡状态下的事件视界上是恒定的。贝肯斯坦[19]认为， 和 不仅分别类似于熵和温度，而且在某种意义上，它们实际上是黑洞的熵和温度。虽然一般的热力学第二定律是由于熵会在黑洞中消失，但熵在事件视界上的流动总是会导致视界面积的一些增加。因此，贝肯斯坦提出了[20]一个广义的第二定律：熵 （未指定的） 从不减少。然而，他并没有说黑洞可以释放粒子并吸收它们。如果没有这样的发射，广义第二定律就会被违反，例如，一个黑洞沉浸在黑洞体辐射中的温度低于黑洞。另一方面，如果我们接受黑洞确实以稳定的速率发射粒子，则建立了 与温度和 与熵的识别，并确定了广义第二定律。

2.重力坍缩

现在一般认为，根据经典理论，引力坍缩会产生一个黑洞，这个黑洞将迅速稳定到一个静止的轴对称平衡态，其特征是质量、角动量和电荷[7,13]。克尔-纽曼解代表了一个这样的黑洞平衡态族，似乎不太可能有其他的。因此，忽略坍塌阶段，简单地用这些解之一来表示黑洞已经成为一种常见的做法。因为这些解是静止的，所以不会有任何正、负频率的混合，所以人们也不会期望得到任何粒子的产生。然而，有一种经典的现象被称为超辐射[14-17]，即在特定模式下入射在旋转或带电黑洞上的波以增加的振幅而散射[见第(3)节]。在粒子描述中，这种放大必须对应于粒子数量的增加，因此是粒子的受激发射。因此，根据一般的理由，在这些超辐射模式中也会有一个稳定的自发发射速率，这将倾向于带走黑洞[16]的角动量或电荷。为了理解粒子的产生是如何由正、负频率的混合产生的，不仅要考虑黑洞的准静止最终状态，还要考虑与时间有关的形成阶段。人们希望，本着“无头发”定理的精神，发射速率不会取决于坍缩过程的细节，除非通过质量、角动量和由此产生的黑洞的电荷。我将证明情况确实如此，但除了超辐射模式下的发射外，在所有模式下都有一个稳定的发射速率，如果黑洞是一个温度为 的普通物体所期望的速率。

我将首先考虑一个不旋转的不带电黑洞的最简单的情况。这一个黑洞的最终稳态用度规的史瓦西解表示

（2.1）

现在众所周知， 的奇点是虚构的，仅仅是由于坐标的坐标选择造成的。解析扩展的史瓦西解的全局结构可以用 平面的彭罗斯图（图1）[6,13]用一种简单的方式来描述。在这个图中， 平面的零测地线在垂直的 。图中的每个点都代表一个面积为 的二维个球体。应用保角变换将无穷大带到一个有限的距离：无穷大由标记为 和 的两条对角线（真正的零曲面）表示，以及点 、 和 表示。两条水平线 是曲率奇点，两条对角线 （真正的零曲面）是未来和过去的事件视界，它将时空划分为人们无法逃避的区域，从中不能逃逸到 和 。在图的左边有另一个无穷大且渐近平坦的区域。

大多数彭罗斯图实际上与引力坍缩形成的黑洞无关，因为度规是施瓦西解的

只有在坍缩物质之外的区域，也只有在渐近的未来。在精确球形坍缩的情况下，为了简单起见，我将考虑，度规恰好是坍缩物体表面外的施瓦西度规，在彭罗斯图中用时间型测地线表示（图2）。在物体内部，度规完全不同，过去的事件视界、过去的 奇点和其他渐近平坦的区域不存在，而被一条代表极坐标原点的类时间曲线所取代。适当的彭罗斯图如图3所示，其中使用保角自由度使极坐标的原点变成一条垂直线。

在这个时空中（同样为了简单起见）考虑一个服从波动方程的无质量厄米特标量场算子

（2.2）

(如果使用保形不变波动方程，所得到的结果将是相同的：

场算符 可以表示为

（2.3）

波动方程 的解 ；可以这样选择，以便在类光过去的无穷远 上，它们形成一个完整的族，满足正交条件（1.2），其中表面 是 ，因此它们只包含相对于 上的正则仿射参数的正频率。（尽管在Bondi-Metzner-Sachs渐近对称群[21,22]中存在“超平移”，但正频率的最后一个条件可以被唯一地定义。）算符 和 有一个自然的解释为进入粒子的湮灭和产生算符，即在过去的零无穷大 的粒子。因为无质量场完全由它们的数据决定，算子 可以以（2.3）的形式表示。在事件视界外的区域，人们也可以通过它们在事件视界和未来的类光无穷远 上的数据来确定无质量场。因此，因此，我们也可以这样表达 的形式

（2.4）

这里的 是纯出的波动方程的解，即它们在事件视界上有零柯西数据， 是不包含出分量的解，即它们在 上有事件视界上的零柯西数据。 和 需要是满足正交条件（1.2）的完整族，其中曲面 分别取为 和事件视界。此外， 需要只包含相对于沿着 的零测地线产生算子的标准仿射参数的正频率。在 上的正频率条件下，算子 和 可以解释为输出粒子的湮灭和产生算子，即 上的粒子。目前还不清楚是否应该对 施加一些正的频率条件，如果 的选择不影响粒子向 发射的计算。我将回到第(4)节中的问题。

因为无质量场完全是由它们在 上的数据决定的，所以可以将 和 表示为 和 的线性组合：

（2.5）

（2.6）

这些关系导致了算子之间的相应关系

（2.7）

（2.8）

初始真空状态 ，即不包含入射粒子的状态，即在 上没有粒子，被定义为

（2.9）

然而，由于系数 一般不会为零，所以在 处的初始真空状态不会是真空状态。相反，他会发现第 个输出模式的数字运算符的期望值为

（2.10）

因此，为了确定由引力场产生并发射到无穷远的粒子数，我们只需计算出系数 。人们会认为这个计算会非常混乱，并取决于引力坍缩的详细性质。然而，正如我将要展示的，我们可以推导出 的渐近形式，它只依赖于所产生的黑洞的表面重力。粒子的产生在一定数量上是有限的，这取决于坍塌的细节。这些粒子将会分散，在 的后期延迟时间内，将会有一个由 的渐近形式所决定的稳定的粒子通量.

为了计算这种渐近形式，将波动方程的输入和输出解分解为它们相对于提前或延迟时间的傅里叶分量，并使用连续归一化。然后，可以通过加入傅里叶分量来形成波包来恢复有限的归一化解。因为时空是球对称的，我们也可以将入解和出解分解成球谐。因此，在坍塌体外的区域，可以将入和出的解写成

(2.11)

(2.12)

其中 和 是通常定义的高级坐标和延迟坐标

(2.13)

(2.14)

每个解 可以表示为关于 且具有相同的值为 和 解 和 的积分，（从现在开始，我将放弃足够的 下标）：

（2.15）

为了计算系数 和 ，考虑一个从 反向传播的解 ，在事件视界上有零柯西数据。解 的一部分 将被坍塌体外的静态施瓦西子场分散，最终以相同频率 在 上。这将在 中给出一个 。 的其余 将进入坍塌的体.

在那里，它将部分分散，部分反射通过中心，最终出现在 。正是这部分 产生了有趣的效果。由于延迟时间坐标 在视界上趋于无穷，解 的常相位表面将在视界附近堆积（图4）。对于坍缩物体上的观察者来说，该波似乎有一个非常大的蓝移。由于它的有效频率非常高，波会通过几何光学通过身体中心并在 上传播。在 将有无限的周期就在先进的时间 是最新的时间零测地线可以离开 ，通过体的中心和逃到 之前的事件视界。我们可以用以下方法来估计 上的 的形式。设 是物质外事件视界上的一个点，设 是一个与视界相切的零向量。设 是 处的未来零向量它是径向向内并归一化使 。向量 （ 是一个正小量）将连接点 事件视界与附近的零表面持续延迟时间 ，因此表面的解 如果向量 和 平行于零测地线 通过 生成地平线，向量 将总是连接事件视界与相同的表面恒定的 看看 和 的之间的关系，在图2中想象，坍塌的物体并不存在，但一个分析真空施瓦西解回来覆盖整个彭罗斯图。然后，人们可以将这对行星 运送到未来和过去事件视界相交的点。然后，向量 将沿着过去的事件视界排列。设 是沿过去事件视界的仿射参数，在 和 上是两个视界的交点， 和 。仿射参数 与过去视界上的延迟时间 有关

（2.16）

其中 为常数， 是由 定义的黑洞表面重力，其中 是时间平移Killing向量。

（ 对于一个施瓦西黑洞 ）由此可以得出，矢量 连接未来事件视界与解 的恒相面 。这个结果也将适用于物体外部区域的真实空间时间（包括坍塌的物体）。在事件视界附近，解 在通过物体时将服从几何光学近似，因为它的有效频率将非常高。这意味着，如果将零测地线 延伸到事件视界的端点，延伸到 的 上，并沿 平行移动 ，向量 仍然将 连接到解 的恒相表面。在 将平行于Killing向量 ，它与 的零测地线生成器相切：

因此，对于 上小而正的 ，解的相位将是

（2.17）

因此，在 对于 将为 ，

（2.18）

这里 是的径向函数 关于过去的事件的值分析连续Schwarzchild解中的视界。表达式（2.18）对于 仅对 小且正有效。在较早的高级时间振幅将不同，频率相对于 测量，将接近原始频率 。

通过傅里叶变换 可以评估其对 和 ，对于 的大值，这些值将由渐近形式（2.18）确定。因此，对于大

（2.19）

（2.20）

解 在 对大值 为零。这意味着它的傅里叶变换变换在上半 平面上是解析的将正确由 傅里叶积分表示， 的傅里叶变换包含的一个因子 在 处具有对数奇异性。通过（2.20）从 获得 我们必须在 这个奇点周围逆时针绕这个奇点旋转。这意味着

（2.21）

事实上 不是由（2.18）在早期提前时间给出的意思是 中的奇异性发生在 而不是 。然而，关系式（2.21）对于大 仍然有效。

处创建粒子总数的期望值在频率范围 至 为 。因为 类似于 当 较大时，该积分发散。创建的粒子的无限总数对应于持续无限时间的有限稳定发射速率可以通过建立一个完整的正交波包族傅里叶分量 。允许

(2.22)

其中 和 是整数， ， 。对于 很小，这些波包将具有频率 ，并将在延迟时间 附近达到峰值宽度 。可以根据 来扩展

(2.23)

这里 （2.24）

对于 ，

（睡觉，明日再更）