VCE高数的导数里面一阶导数和二阶导数的关系有没有人能帮我讲一下？

VCE高数的导数里面一阶导数和二阶导数的关系有没有人能帮我讲一下？

VCE高数这一章节主要是Differentiation and rational functions。即如何通过一阶导数和二阶导数判断函数的增减性，凹凸性，驻点（stationary point）与拐点（point of inflection）的位置和类型，进而画出完整的图像

下面我们通过一张图来了解一下一阶导数和二阶导数的关系：

1、一阶导数>0

我们可以从这个表格上清晰地了解到，当一阶导数大于0，二阶导数也大于0的时候，图像是一个增函数，并且增长率越来越大（即图像越来越陡）；反之，当一阶导数大于0，二阶导数小于0的时候，图像是仍然是一个递增的趋势，但是增长得比较缓慢。

2、一阶导数<0

同理，当一阶导数小于0的时候，无论二阶导数大于还是小于0，图像的整体趋势是一个递减的，只不过是递减的速率不同。

那么，我们可以用简单的话来记住：一阶导数决定函数图像的增减性，二阶导数决定函数图像增减的速率（即，凹凸性）。在物理层面的意义上可以理解为，一阶导数代表速度，二阶导数则为加速度。

3、一阶导数=0

我们依旧可以从这个图中看出，当一阶导数为0时，如果二阶导数大于0，则该点为local minimum（极小值），图像是凹下去的；反之，如果二阶导数小于0，则该点为local maximum（极大值），图像是凸出来的。

这就印证了前面提到过的，二阶导数决定函数图像的凹凸性。

4、二阶导数=0

二阶导数为0的点是函数图像增长（减小）率变化的点，即图像凹凸性变化的点。

我们可以从表格看出，当一阶导数大于0，二阶导数等于0时，图像整体为一个增长趋势，但是在二阶导数为0的那个点时，图像的增长率发生了变化，可以是从缓慢增长到陡然增长，也可以是从陡然增长变到缓慢增长。

同理，当一阶导数小于0，二阶导数为0时也是这样，只不过是图像整体是一个递减的趋势。

这是因为，一阶导数决定图像的增减性，二阶导数决定图像的凹凸性

5、一阶导数=0；二阶导数=0

当一阶导数和二阶导数都为0的时候，这个点被称为Stationary point of inflection，平稳的拐点。因为当一阶导数为0时，图像在该点处的斜率为0，图像在此处周围呈一个相对平缓的趋势。

我们之前还写过【VCE数学】备考干货文章，请参考专栏：

好啦，以上就是VCE高数中一阶导数和二阶导数的概念分析！希望对同学的导数学习有所帮助！学好这个章节就是需要牢记概念与定义，对函数图像有清晰的认识。祝考试顺利哦！