三角函数只能在直角三角形中计算吗？

三角函数只能在直角三角形中计算吗？

这是三角函数常见的分析定义之一。

但是，这个「三角函数」，真的和几何定义等价吗？为了回答这个问题，就要研究这个函数的性质。

根据达朗贝尔判别法，很容易看出，这两个级数对于所有的实值 都是绝对收敛的。

利用级数乘法，可以证明和角公式。

另外立刻可以看出奇偶性。

以及，取 的话……

现在从余弦函数的和角公式，便可以推出 。

根据幂级数相关的定理，可以看出，这两个函数连续且任意阶可导。于是对其求导。

接下来要说明的是， 有解且解唯一。

像这样两两括起来。

考虑到 ，立刻就能明白 。

根据布尔查诺-柯西第一定理，这样的零点确实存在。然后考虑个数的问题。

时， 显然是正的。

由是， 时， 就是负的。此时 单调递减。

这就说明了方程有解且解唯一。现在把这个解记作 。

（注意到 是正的！）

代入和角公式。

再代入。

……继续代入。

这实际上说明了正弦函数与余弦函数的周期性。

其实完全可以把诱导公式全部推出，不过这里就不多说了。

接下来证明与几何定义等价。为着证明，不妨用参数方程绘出图形。

其中 。

考虑到 ，这些点确实在单位圆上。接着就要说明，圆周上每一点都确确实实可以用该参数方程表示，而且对应的 唯一。

我们已经知道， 时，。

这样， 时，。

与此同时， 单调递减，由 减至 。

这是圆周的上半部分。下半部分留给读者说明。

接下来计算弧长。

这说明 其实就是对应点的幅角。于是，和几何定义相比较，结果就很了然了。

因此这里正弦、余弦乃至 的定义，都和几何定义等价。

这样的定义也适用于复变的情形。

可是复变的话，就不能再用几何定义了，所以这就是分析定义超出几何定义的一点。