什么是拓扑？

什么是拓扑？

前面的答案已经很清晰了，我稍微补充一下 @吾欲揽六龙 的回答，也就是拓扑空间从categorial角度的理解。

令 为一个拓扑空间，记 为其open sets构成的category，其中的morphisms为inclusion. 我想在这里强调的是，这种视角在数学中并非只是一个对熟悉概念的一种fancy reformulation with abstract nonsense，而是有非常重要的意义和generalisation的价值的。

用这种视角，一个presheaf on , say, of abelian groups，就是一个逆变函子，contravariant functor：

这就让我们不由得去想，也许presheaf/sheaf这一个几何上非常重要的概念可以不依赖于具体的拓扑空间，而是在一个满足特别条件的范畴上就可以了呢？毕竟从上面的定义来看，presheaf可以仅仅定义为一个逆变函子，而sheaf的话略微复杂一些，但也只是需要open sets之间的covering关系而已。这就motivate了以下概念：

定义：令 为一个范畴，我们称 一个site, 如果 是一个集合，里面的元素是 "family of morphisms with a fixed target" , 满足：

1） 包含所有isomorphism ;

2）由 且 可推出 ;

3）若 , 令 为一个morphism, 则对所有 存在，且 .

这样的一个结构是拓扑的generalisation：显然covering morphisms对应open covering, 而里面的fibre product对应的是open sets的intersecton. 我们称这种category上的拓扑为Grothendieck topology. 类似地我们可以在上面定义presheaf和sheaf, 具体构造和平常的presheaf和sheaf类似，只不过换成了morphism的语言。在此就不详述了。

为何我们需要如此抽象的定义呢？最早Grothendieck考虑这个问题是因为algebraic geometry里的Weil conjectures. 在定义Weil cohomology theory的时候，我们发现scheme上本身的Zariski topology过于粗糙了，而我们希望的是一个类似complex manifold上的complex topology，这样我们可以定义一个更好的类似Betti cohomology的上同调理论over schemes over finite fields, 并且满足Weil cohomology的条件。而这个refined “topology”就是由定义在scheme上的étale sites给出的，其中满足条件的“covering morphisms“就是étale morphisms. 这样一来我们在étale site上放上sheaf，然后compute sheaf cohomology，就可以定义étale cohomology以及 -adic cohomology了：正是它们帮助Grothendieck和Deligne等人完整证明了Weil conjectures.